科目名	□微分幾何学
担当教員	加藤十吉
対象学年	3年	クラス	[277]
講義室	８２１４教室	開講学期	通年
曜日・時限	火２	単位区分	選択
授業形態		単位数	4
準備事項
備考
講義概要/Class Outline	空間内の曲線と曲面の微分幾何の初歩的な事柄を講義する。まず，独立変数 t が開区間(a， b)を動くとき，2次元数平面＝2次元ユ‐クリッド空間へのベクトル値関数，つまり平面曲線の各数 t での微分を速度ベクトル，または，接ベクトルという．とくに，t に関係なく接ベクトルの大きさが1のとき，曲線は弧長s＝tでパラメ‐タづけられられているという．平面曲線の速度ベクトルもベクトル値換数であり，弧長sでパラメ‐タづけられらた曲線の接ベクトル関数の微分，つまり，弧長sでパラメ‐タづけられらた平面曲線の (s による微分の微分)＝( s による2回微分)を加速度ベクトルといい，その大きさを曲率という．空間曲線＝(独立変数 t が開区間(a， b)を動くとき，3次元数平面＝3次元ユ‐クリッド空間へのベクトル値関数)はについては，曲率と捩率が定義され，それらの関係はフレネセレの公式でまとめられるる。空間曲面においては第一基本形式、第二基本形式が重要であり、ガウスの公式、ワインガルテンの公式を導き，ガウスの曲率、平均曲率などを定義する．（達成目標）空間曲線の曲率や捩率，および，空間曲面のガウス曲率が計算できること
講義計画 /Class Structure
15	空間内の曲面I 諸例I 球面、楕円面、一葉双曲面、２葉双曲面
16	空間内の曲面 II 楕円放物面、双曲放物面、輪環面、回転面
17	第1基本形式第１基本形式と曲線の長さ
18	第2基本形式と曲率 Christoffelの記号、ガウスの式、ワインガルテンの式
19	臨界点でのヘッセ行列と第二基本形式第二基本形式の定値性
20	ガウスの曲率1 ガウス曲率、平均曲率、主曲率、主方向
21	ガウスの曲率2 ガウスの曲率と曲面の局所的な形
22	ガウスの曲率3 第二基本形式がいたるところ０の曲面；線織面、可展面
23	実例での計算柱面、球面のガウスの曲率
24	実例での計算２楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面輪環面、
25	実例での計算3 回転面、擬球面、その他
26	ガウス曲率：補遺１ガウス曲率がいたるところ　＋１である曲面
27	ガウス曲率：補遺２ガウス曲率がいたるところ　−１である曲面
28	微分幾何学と位相幾何学ガウス‐ポンネの定理について概説する。
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学習・教育目標/Class Target 大雑把には、１変数の無限回微分可能なn次元ベクトル値関数が滑らかな曲線と呼ばれるものである。
n＝２のとき、平面曲線、n＝３のとき、空間曲線と呼ばれる。
曲線について、線素というものが定義され、曲線の長さはその積分で与えられる。
一般に、曲線について、その接ベクトルが定義され、接ベクトルを軸に曲線の形を調べる、曲線の微分幾何学が展開される。
また、２変数の無限回微分可能な２つのn次元ベクトル値関数の組で与えられる写像が滑らかな曲面と呼ばれるものである。n＝３のとき、空間内の曲面とも呼ばれる。曲面については、ベクトル値関数の偏微分を使って、曲面の形を調べる、曲面の微分幾何学が展開される。
曲線、曲面について、その曲がり方を調べる曲率が定義され、曲率の性質から曲面の形を理解しようとする。
したがって、教育目標は、曲率の意味を理解し、具体例で計算ができるようにすることである。評価基準/GradingCriteria 空間曲線や空間曲面の基本的概念(曲率やガウスの曲率)の計算が出来ることが基本的要件である．評価方法/GradingMethod 期末試験にレポートの成績を加味した総合評価受講上の注意/Class Rules 欠席しないこと。復習または宿題を必ずすること。受講制限/Prerequisit 関連する科目/Related Class 微積分基礎、線形代数基礎を仮定するが，その基礎については，適宜，復習する．　　したがって，微分積分や，線形代数を図形の形を調べるために応用する形で復習することになる．教科書/Text

著者名	小林昭七著
著書名	『曲面と曲面の微分幾何（改訂版）』
出版社名	裳華房
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指定図書/Assigned Books

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参考文献/Bibliography

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